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免费第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(二)代数--实验与猜想含答案试卷分析详解详细信息
宜城教育资源网www.ychedu.com免费第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(二)代数--实验与猜想含答案试卷分析详解第八届"启智杯"数学思维能力竞赛集训(二)代数---实验与猜想【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。二、考察的思维能力1.发散性思维能力:直觉思维--数学直觉和数学灵感;形象思维--数学表象和数学想象。2.收敛性思维能力:逻辑思维--形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。3、对一个群体,由于数量之众,人们无法对其直接做整体的判断,于是观察其若干个体,从其个体中的共性推测整体的性质。1、三角形无对角线,四边形有2条对角线,五边形有5条对角线。请问:六边形有多少条对角线?十六边形有多少条对角线?【参考答案】以五边形为例,从一个顶点可以引出两条对角线,因为自己不和自己连,和自己相邻的两个顶角也不连,所以是两条,一共有五个角,所以一共是5×2=10条,又因为从A到C,从C到A,是同一条,而我们算了两次,所以整个图形都是重复了一半,所以要除以2,任意多边形都是这样,所以多边形对角线的条数公式是,当n=6时,=(条);当n=16时,=(条)。2.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如9+8=17,也可写成;在四进制加法中,逢四进一,如,那么在进制中有等式,则.【【参考答案】63.自然数的平方按从小到大排成1,4,9,16,25,36,49,…,问:第612个位置上的数字是几?【参考答案】1到3的平方是一位数,占去3个位置;4到9的平方是两位数,占去12个位置;10到31的平方是三位数,占去66个位置;32到99的平方是四位数,占去272个位置;将1到99的平方排成一行,共占去353个位置,从612减去353,还有259个位置。从100到300的平方都是五位数,因此,第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字。因为259=51×5+4,即从100到150,共51个数,它们的平方都是五位数,要占去255个位置,而151×151=22801,它的第四个数字是0,所以612个位置的数字是0.4.某同学做跳棋游戏,如图所示,为,.如果跳棋开始在BC边上的点,,第一步跳棋跳到AC边上点,且;第二步从跳到AB边上点,且;第三步跳棋从跳回到BC边上点,且;……;跳棋按上述规则跳下去,第2013次落点为,请计算与之间的距离。【参考答案】BP0=4,CP1=6,AP2=3,BP3=5,CP4=5,AP5=4,BP6=4,则2013÷6=335……3,所以,BP2013=5则P0与P2013之间的距离=5-4=1.5.有一列数1,1,2,3,5,8,13,……(从第三个数开始,每个数恰好是它前面相邻两个数之和),这列数的第2013个数被3除的余数是多少?【参考答案】被3除的余数规律为:1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、……周期为8,则2013÷8=251……5,则余数为2.6.一个人从中央(标0)的位置出发,向东、北各走1千米,再向西、南各走2千米,再向东、北各走3千米,再向西、南各走4千米,……,如此继续下去。他每走1千米,就把所走的路程累计数标出,当他走到距中央正东100千米处时,共走了多少千米?【参考答案】观察右下角拐弯处的数:第一个:1=12=(2×1-1)2;第二个:9=32=(2×2-1)2;第三个:25=52=(2×3-1)2;……,第n个拐弯处的数:(2n-1)2,所以第100个拐弯处的数是(2×100-1)2,再向北走99千米,即为中央正东100千米处,一共走了(2×100-1)2+99=39700(千米)。7.数列1,1991,1990,1,1989,1988,1,……从第三个数起,每个数是前两个数的差,这个数列中第一个零出现在第项。【参考答案】数列再写下去:1,1991,1990,1,1989,1988,1,……,1,3,2,1,1,0,每三个数为一组,每组从第一个数都是1,从1991到0共有(1991+1)÷2=996(组),第一次出现0是第996组的最后一个数,即第996×3=2998(项)。8.把1到1997这1997个数,按顺时针方向依次排列在一个圆周上,从1开始按顺时针方向,保留1,擦去2,保留3,擦去4……(每隔一数,擦去一数),转圈擦下去,最后剩下的是哪个数?【参考答案】如果只有1,2,留下1;如果只有1,2,3,4,留下1;如果只有1,2,3,4,5,6,7,8,留下1;如果只有1,2,3,4,5,…,15,16,留下1;……如果个数是2n个时,留下的数一定是第一个数1。由于210=1024<1997<211=2048,1997-1024=973,就是说要剩下1024个数就要先擦去973个数,按题意,每两个数擦去一个数,应当擦到第973个数时,最后剩下的数是1024个,这时最后擦去的数应是973×2=1946,后面1024个数的第一个数是1947,即最后剩下的数就是1947.9.如果那么。【参考答案】仔细观察式子得到,原式=(1+2+3+…+8+9)+(1+1+2+3+…8+9)+(2+2+4+6+…+16+18)+(3+3+6+9+…+24+27)+…+(9+9+18+27+36+…+72+81)=45×1+46×1+46×2+46×3+…+46×8+46×9=45×1+46×45=46×46=2116.10.A、B、C、D四个盒子中分别放有6,5,4,3个球,第一个小朋友找到放球最少的盒子,从其它的盒子中各取1个球放入这个盒子中,然后第二个小朋友又找到一个放球最少的盒子,从其他的盒子中各取1个球放入这个盒子中,……如此进行下去,当第2011个小朋友放完后,A、B、C、D四个盒子中的球数依次是多少个?【参考答案】3,6,5,411.一串数第2013个分数是多少?【参考答案】(44+1)×44÷2=990,990×2=1980,2013-1980=33,33÷2=16……1,所以第2013个分数是.12.计算机从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色:凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色,不符合上述要求的自然数染成黄色(比如29可表示为两个不同合数20和9之和,29要染红色;1不能表示为两个不同合数之和,1染黄色)。问:被染成红色的数由小到大数下去,第2014个数是多少?请说明理由。【参考答案】显然1要染黄色,2=1+1也要染黄色,3=1+2,4=1+3=2+2,5=1+4=2+3,6=1+5=2+4=3+3,7=1+6=2+5=3+4,8=1+7=2+6=3+5=4+4,9=1+8=2+7=3+6=4+5,11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。可见,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11均应染黄色。下面说明其它自然数n都要染红色。(1)当n为大于等于10的偶数时,n=2k=4+2(k-2)。由于n≥10,所以k≥5,k-2≥3,2(k-2)与4均为合数,且不相等。也就是说,大于等于10的偶数均能表示为两个不同的合数之和,应染红色。(2)当n为大于等于13的奇数时,n=2k+1=9+2(k-4)。由于n≥13,所以k≥6,k-4≥2,2(k-4)与9均为合数,且不相等。也就是,大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和,应染红色。综上所述,除了1,2,3,4,5,6,7,8,9,11这10个数染黄色外,其余自然数均染红色,第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2)。所以第2014个染为红色的数是2014+10=2024。13.如图所示,各图是由若干盆花组成的如三角形的图案,按规律推断:第2014个图案的花盆是多少?【参考答案】根据推断,得到an=(n+1)×3-3=3n,所以第2014个图案的花盆有3×2014=6042(个)。14.任意写一个3的倍数(0除外),把它的各个数字分别立方并相加得到一个新数,再把新得到的数的各个数字分别立方并相加又得到一个新数,一直重复下去……,这些新数中第2014个数是多少?【参考答案】如此操作下去,最后得到一个不变的数153,那么第2014个数也是153。15.一个非零自然数,如果从左到右顺读和从右到左逆读,都是一样的,则这个数称为"回文数",如4,55,171,4994,12321等都是回文数,而332不是回文数。那么从小到大的第2014个回文数是多少?【参考答案】位数:有9个(1~9);两位数:有9个(11,22,33,…,99);三位数:9×10=90个(1□1,2□2,…,9□9):四位数:9×10=90个(1□□1,2□□2,…,9□□9);五位数:9×10×10=900个(1□□□1,2□□□2,…,9□□□9);六位数:9×10×10=900个(1□□□□1,2□□□□2,…,9□□□□9).共有:9×2+90×2+900×2=1998个。第1999个,是第一个七位回文:1000001;第2000~2008个分别为1001001,1002001,…,1009001;第2009个为1010101,第2010个为1011101,第2011个为1012101,…,第2014个回文数为1015101.16.在同一平面内,1个圆将平面分成2个部分,2个圆将平面最多分成4个部分……那么20个圆最多将平面分成几个部分?【参考答案】1个圆将平面分成:22个圆将平面分成:2+2=43个圆将平面分成:2+2+4=84个圆将平面分成:2+2+4+6=14(如图)......20个圆将平面分成:2+2+4+6+8+……+36+38=382.即20个圆最多将平面分成382个部分。一般地,n个圆最多将平面分成:2+n(n-1)个部分 宜城教育资源网www.ychedu.com
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